两项新研究表明，虚数对于准确描述现实是必要的。虚数是负数取平方根后得到的数，绝大多数重要的量子力学方程都需要使用虚数，量子力学是物理学描述微观世界的一个分支。当你将虚数和实数相加时，两者形成复数，这使物理学家能用简单的术语写出量子方程。但量子理论是否需要这些数学嵌合体，还是只是为了方便，这个问题长期以来一直存在着争议。事实上，即使是量子力学的创始人自己也认为在他们的方程中包含复数的含义令人不安。物理学家薛定谔（Erwin Schrodinger）用量子波函数第一次将复数引入量子理论，在写给他的朋友洛伦兹（Hendrik Lorentz）的一封信中，他写道：“复数的使用在这里令人不快，实际上是被直接反对的。量子波函数从根本上说肯定是一个实函数。”

薛定谔确实找到了方法，用实数和一组如何使用方程的额外规则表达方程，后来的物理学家也对量子理论的其他部分做了相同的事情。但是在没有确凿的实验证据来证明这些“全实数”方程预测的情况下，一个问题一直存在：虚数是一种可选的简化，还是试图在没有它们的情况下工作会剥夺量子理论描述现实的能力？现在 12 月 15 日发表在《自然》和《物理评论快报》期刊上的两项研究证明薛定谔是错误的。通过一个相对简单的实验，他们表明如果量子力学是正确的，虚数就是我们宇宙数学的必要组成部分。论文的主要作者、西班牙光子科学研究所的理论物理学家 Marc-Olivier Renou 表示：“量子力学的早期创始人找不到任何方法解释理论中出现的复数。”“复数用起来很好，但是没有明确的方法来确定具有现实元素的复数。”为了测试复数是否具有现实重要性，第一项研究的作者对被称为贝尔试验的经典量子实验进行少许设计上的调整。贝尔试验由物理学家 John Bell 在 1964 年首次提出，目的是证明量子理论要求的量子纠缠——两个相距遥远的粒子间的奇怪联系，爱因斯坦（Albert Einstein）反对这一观点，称其为“鬼魅般的超距作用”。

牛津大学数学家 Ben Green 在理解一个百年前组合数学问题方面取得重大进展，表明一个著名的猜想，正如蒙特利尔大学的 Andrew Granville 所说，“不仅错了而且错得离谱”。新论文展示了如何创建超过数学家认为可能的长度的无序彩色珠串，拓展了 1940 年代以来的一系列工作，这些工作已应用于计算机科学等领域。

Ron Graham 是过去半个世纪顶尖的离散数学家之一，这个猜想是他在 17 年前提出的：你可以将多少蓝色和红色的珠子串在一起，而又不会创造任何长序列间隔均匀的单色珠子。（你可以决定对于每种颜色来说这个“长”有多长。）

这是拉姆齐理论最古老的问题之一，探讨在必然出现有序之前，各种数学对象可增长到多大。珠串问题说起来容易，实际上却很难：对于长串，珠串可能的排列方式多到无法一一尝试。 斯坦福大学的 Jacob Fox 表示：“有时我们对一些看似非常基本的问题真的几乎一无所知。很多人会惊讶于我们对一些问题所知甚少，这个问题就是其中之一。”

近一个世纪以来，数学家都知道你不能无限地串珠子。一旦你为每种颜色选好了参数，在被迫创建超出你忍受范围的均匀间隔序列之前，你就只能串接这么多的珠子。如果你提高红色和蓝色的参数，可串接的珠子的总数会增加——但是增加的速度有多快？

在这个问题的一个版本中，你禁止最短的均匀间隔的蓝色序列出现，Graham 推测(PDF)会有一个简单的关系成立：可能的、最长的珠串长度大约是红色珠子参数的平方。所有数学家积累的数据资料都支持 Graham 的这一猜想。

但现在 Green 证明这个猜想是错误的。在长达 68 页的论文中，他展示了如何制作比 Graham 预测的长得多的珠串。Green 融合了几何和动力系统创建无序珠串，他的结构建立早期的珠串结构之上，这种早期珠串结构应用在从矩阵乘法到密码学的各个学科中。Fox 表示，这种结构“对计算机科学中的一些问题非常重要。”

在 3 月发表的一篇近 400 页的论文中，哥伦比亚大学的数学家 Mohammed Abouzaid 和 Andrew Blumberg 大幅拓展了几何学近几十年以来最大的进步之一。他们所做的工作与 Vladimir Arnold 在 1960 年代提出的一个著名的猜想有关。Arnold 当时研究经典力学，他想知道行星的轨道何时能稳定，在一段时间之后恢复到初始状态。

Arnold 的工作涉及物理系统如弹跳台球或绕轨道运行的行星可采用的所有不同配置。这些配置被编码在称为相空间的几何对象中，在被称为辛几何的数学领域具有重要作用。Arnold 预测，特定类型的每个相空间都包含最少量的配置，在这些配置中，它所描述的系统返回到它开始的地方。这就像台球会占据与先前相同的位置和速度。他预计这个最小数量至少等于整个相空间中孔的数量，它可以采取球体（没有孔）或者甜甜圈（有一个孔）等物体的形式。Arnold 猜想将两种完全不同的形状思考方式联系起来。它表明就其柔软的拓扑特性（它有多少个孔）而言，数学家可以获得关于物体在给定形状下的运动信息（反映在有多少配置让物体返回到它开始的地方）。斯坦福大学的 Ciprian Manolescu 表示：“通常来说，辛比纯拓扑更难。因此能从拓扑信息中分辨出辛是关键。”

Arnold 猜想的第一个重大进展出现在 1980 年代，当时名叫 Andreas Floer 的年轻数学家开发了一种全新的孔洞计算方法。Floer 的理论很快就成了辛几何的核心工具之一。然而即使数学家使用了 Floer 的想法，他们还是认为按照 Floer 开辟的新视角，应该有可能超越理论本身发展出其他的理论。Abouzaid 和 Blumberg 做到了。在 3 月份的论文中，他们根据 Floer 开创的孔洞计算技术重新构建了另一个重要的拓扑理论。他们用这种新的理论来证明 Arnold 猜想的一个版本，呼应了 Floer 的工作。早期的概念验证结果让科学家期待他们终将发现 Abouzaid 和 Blumberg 的想法的更多用途。

一个国际数学家团队发表了边界层湍流的完整描述。该团队由加州大学圣巴巴拉分校的 Björn Birnir 教授和奥斯陆大学的 Luiza Angheluta 教授领导。论文发表在《Physical Review Research》期刊上，综合了该主题数十年的工作。该理论将经验观察与 Navier-Stokes 方程——流体动力学数学基础——结合成一个数学公式。

边界层湍流于 1920 年左右由匈牙利物理学家 Theodore von Kármán 和德国物理学家 Ludwig Prandtl 首次描述，两人都是流体动力学领域的杰出人物。复杂与非线性科学中心主任 Birnir 表示：“他们研究的是今天称为边界层湍流的现象”。这种现象是当流体与边界（例如流体表面、管壁、地球表面等）相互作用时引起的湍流。

Prandtl 通过实验发现可根据与边界接近的程度将边界层划分为四个不同的区域。粘性层在边界附近形成，湍流被流动的厚度减弱。接着是过渡缓冲区，其次是惯性区，湍流发展得最充分。最后根据 von Kármán 的公式，尾流是边界层流动受边界影响最小的地方。

流体离边界越远流动越快，但其速度以非常特定的方式变化。它的平均速度在粘性层和缓冲层中增加，然后在惯性层中转变为对数函数。Prandtl 和 von Kármán 发现的这种“对数定律”让研究人员感到困惑，他们努力了解它的来源以及如何描述它。

流动的变化——或与平均速度的偏差——也显示出跨越边界层的特殊行为。研究人员试图了解这两个变量并推导出可以描述它们的公式。

我们的生活是一连串的优化问题。当我们寻找下班回家的最快路线或在去商店的路上试图平衡成本和质量时，甚至当我们决定如何度过睡前有限的空闲时间时，就会出现此类问题。 这些场景和许多其他场景可以表示为数学优化问题。做出最佳决策就是找到最优解。对于一个沉浸在优化中的世界，最近的两项研究成果既带来了好消息也带来了坏消息。 在 2020 年 8 月发表的一篇论文中，普林斯顿大学的 Amir Ali Ahmadi 和他以前的学生、现就读于卡内基梅隆大学的 Jeffrey Zhang 确定，对于一些二次优化问题（这类问题中成对的变量会相互作用），在计算上以具有时效性的方式即使是寻找局部最优解也是不可行的。 但是两天之后，Zhang 和 Ahmadi 发表了第二篇论文，给出了积极的结论。他们证明，快速确定三次多项式（变量之间存在三向相互作用）是否存在局部最小值并找到这个值（如果存在的话）总是可行的。

P vs NP 问题被视为理论计算机科学和数学领域最重要的问题，但解决该问题被认为完全遥不可及。它旨在解决计算的前景、极限和目标的核心问题，即：

为什么有些问题比其他问题更难？
计算机可以实际解决哪些问题？
需要多少时间？

这是一项具有重大哲学和实践回报的探索。德州奥斯丁的计算机科学家 Scott Aaronson 在他的思想回忆录《Quantum Computing Since Democritus》中写道：“看，这个P vs NP的问题，我还能说什么？人们喜欢将其描述为‘可能是理论计算机科学中尚未解决的核心问题。’这是一种轻描淡写的可笑说法。P vs NP 是人类曾经提出过的最深刻的问题之一。”可以用这种方式理解这个问题：“P”代表计算机可以轻松解决的问题。“NP” 代表一旦解决就很容易检查的问题，比如拼图游戏或数独游戏。许多 NP 问题对应的是社会面临的一些最顽固和最紧迫的问题。价值百万美元的 P vs. NP 问题是：这两类问题是同一类吗？也就是说如果能找到正确快速的算法，那么看起来如此困难的问题实际上能在合理的时间内用算法解决吗？如果是这样，许多难题突然就可解了。它们的算法解决方案可以带来乌托邦式的社会变革——在医学、工程和经济学、生物学和生态学、神经科学和社会科学、工业、艺术、甚至政治等领域。

互联网梅森素数大搜索（GIMPS）项目宣布第 48 个梅森素数 M(57 885 161)已正式获得验证。M(57 885 161) 是在 2013 年发现的，M(82 589 933) 是在 2018 年 12 月 7 日发现的，是第 51 个也是最新的梅森素数。GIMPS 是一个分布式计算项目，创建于 1996 年，至今已有 25 年历史，它利用志愿者的空闲 CPU 创建了一个遍布全球的超级计算机。

在任意特定时刻碰巧身处城市中心的人群似乎只是个随机集合，但使用简单数学定律得出的最新研究成果表明，实际上全球各个城市的出行模式都具有极强的可预测性——这一见解不仅可以增强疾病传播建模，同时也有助于优化城市规划。通过研究匿名手机数据，研究人员发现城市中特定位置的人数与他们到达那里的距离以及出行频率之间呈平方反比关系。从直觉上说人们会倾向于前往附近的地点、而很少选择距离较远的区域；但这项最新发现的关系将基本概念转化成了特定数字表达。例如它能准确预测出每周从 2 公里以外前来的人数会 5 倍于每周从 5 公里以外前来的人数。研究人员的这种新计算方法以及由此建立的市内个人流动通用模型已经被刊登在《自然》杂志上。

研究人员分析了 2006 年至 2013 年六个城市区域总计约 800 万民众的数据，具体涵盖波士顿、新加坡、里斯本、葡萄牙的波尔图、塞内加尔的达喀尔以及象牙海岸的阿比让。之前的分析主要使用手机数据来研究个人出行路径，但这一次的研究则重点关注地理区域，具体跟踪有多少人前来、距目的地多远、访问频率如何等。研究人员发现，从接送孩子到购物或通勤，人们做出的每一次选择都会无意中综合考量这个平方反比定律。对这种强统计模式的一种解释在于，出行所耗费的时间与精力对每个人来说都是一种有限的资源。

想象一下假如你是一名古代的将军，既想清点三军又不希望人数被敌方察觉。到底该怎么实现？只需小小的数学技巧就能帮我们解决问题。在晨练中，我们要求士兵排成五行，并注意到最后一行只有三名士兵。之后重新排成八行，最后一行有七名士兵。之后是排成九行，最后一行是两名士兵。虽然没有具体清点，但我们已经掌握了充足的信息，完全可以在敌方毫无知觉的情况下知晓己方人数。从传说故事来看，中国古代的将军似乎确有使用这种精妙的点兵技巧。这种方法被称为中国剩余定理，可能由中国数学家孙子在公元 3 世纪到 5 世纪之间发现（与写孙子兵法的孙子不是同一个人）。该定理约定：只要我们知道某个未知数除以某些“成对互质”数时的余数（即二者不存在任何共同的质因数），即可求出此未知数本身。孙子虽然没有对此做出正式证明，但后来的印度数学家及天文学家 Aryabhata 给出了具体过程，彻底解决了此定理的任何给定实例。佐治亚大学的 Daniel Litt 表示，“中国剩余定理确实给出了真实有效的计算方法。”

肯特大学、Research Institute for Environment Treatment 和 Vita-Market 公司的研究人员发现了一个通用数学公式，能描述自然界中存在的任意鸟蛋形状，突破了这个历史性难题。从分析的角度来看，卵体或者说蛋体的形状一直困扰着数学家、工程师和生物学家。这种形状因其演化而备受推崇，既大到足以容纳并孵化新的胚胎、又小到能够顺利完成分娩。更重要的是，蛋在放置稳定之后就不会持续滚动、结构合理、能承受较大的重量，这一切让这种自恐龙时代起承载过 10500 种物种的生物结构获得了“完美形状”的美誉。

在对所有卵体形状进行分析之后，我们可以发现四种几何图形：球体、椭圆体、卵形体与梨形体（圆锥形），但其中梨形的数学公式一直没有推导得出。为了解决这个问题，研究人员在卵形公式中添加了额外的函数，并开发出新的数学模型以适应一类全新几何形状——即由球体到椭圆体的最终演化阶段。这个新的卵形通用数学公式基于四项参数：卵长、卵宽、垂直轴偏移以及卵长四分之一处的直径。这个通用公式之所以如此重要，不仅在于它能准确计算出卵体本身的形状，更为我们揭示出卵生生物的演化方式与原因，为更广泛的后续生物与技术应用打开了大门。

研究人员开发出一个数学模型，能预测肌肉锻炼的最佳方式。剑桥大学的研究人员使用理论生物物理学方法构建起这套模型，可用于判断特定运动量对肌肉生长的贡献与具体锻炼时长。以这套模型为基础开发出的软件产品，能随时接纳用户输入的个人生理细节，进而提供锻炼优化建议。发表在《Biophysical Journal》期刊上的论文表明，不同个人、不同肌肉生长目标都有着最优的抗阻训练量。肌肉只能在极短时间内接近其最大负荷，而随着时间推移施加组合负荷则能激活细胞信号通路、促使人体合成新的肌肉蛋白。但一旦低于某个值，负荷将不足以产生大量信号，这时候必须将锻炼时间成倍延长才能达到相同的增肌效果。而这个临界负荷的值，往往取决于不同个体的特定生理机能。

2018 年，剑桥大学研究人员启动了一个关于肌肉纤维中蛋白质如何在力作用下发生变化的项目。他们发现，作为肌肉主要成分的肌动蛋白与肌球蛋白之间往往缺乏信号分子的结合位点，因此必须由含量排名第三的肌联蛋白负责发出力施加变化信号。每当分子中的一部分在收张状态下保持足够长的时间，肌肉就会转换为不同的状态，让先前隐藏的区域被暴露出来。如果该区域随后能够同参与细胞信号传导的小分子结合，即会激活该分子并产生化学信号链。肌联蛋白是一种巨大的蛋白质，肌肉在拉伸过程中大部分肌联蛋白会处于伸展状态，但在肌肉收缩时，少部分肌联蛋白分子也同时处于紧张状态。这部分肌联蛋白即包含所谓肌联蛋白激酶域，也正是产生影响肌肉生长的化学信号的关键域。如果肌联蛋白分子能承受更大的力、或者在相同的力下保持更长时间，即有可能打开。这两种情况都会增加信号分子的激活数量，而后诱导更多信使RNA的合成，产生新的肌肉蛋白质并促使肌肉细胞的横截面增加。

这一研究成果，也让目前的工作成为现实。研究人员着手构建起一套数学模型，可用于对肌肉生长进行定量预测。他们从简单模型入手，首先跟踪受力情况下打开的肌联蛋白分子并启动信号级联。他们使用显微镜数据来确定肌联蛋白激酶单元在不同受力条件下打开或关闭并激活信号分子的依赖性概率。之后他们再纳入其他影响因素，例如代谢能量交换、重复时长与恢复时间等，进一步充实这套模型。最后他们使用这套模型，对过往长期以来的肌肥大研究进行了验证。论文的一位作者表示，“我们的模型为肌肉生长主要发生在最大负荷的70%的猜测提供了生理依据，这也是目前抗阻训练的基本思路。负荷低于这个水平，肌联蛋白激酶的开放率会急剧下降并阻止敏感信号的出现。而在此之后，肌肉会快速力竭、导致我们的模型无法得到良好的定量测试结果。”这套模型还解决了长期卧床休息的病人、或者身处微重力环境下的宇航员出现肌肉萎缩的问题，能够帮助他们在肌肉状况发生恶化之前保持最低限度的活动时间、并提供最佳恢复方式建议。

现代应用研究中的诸多领域，都严重依赖于一种被称为梯度下降(gradient descent)的关键算法。这是一种常被用于寻找特定数学函数最大值或最小值的方法，也被称为函数优化方法。梯度下降可用于计算多种任务，包括哪种产品制造方式利润最高、哪种员工轮班机制最优等等。尽管如此，研究人员一直没能彻底理解这种算法的核心意义。如今最新研究终于给出了解释，确定梯度下降从本质上是在解决一个具备固有困难性的计算问题。从这个角度来看，最新结果为梯度下降找到了效能上限，因此研究人员不可能在实际应用中获得超出这个极限的性能结果。论文发表在预印本网站 arXiv 上。

圆周率 Π 现在知道了 62.8 万亿位的数字。瑞士 Grisons 应用科技大学高性能计算团队在上周六将圆周率计算到小数点后 62'831'853'071'750 位，比之前的记录多 12.8 万亿小数位，创造了圆周率精确值的新世界纪录。研究人员是从 2021 年 4 月 28 日开始计算，到 8 月 14 日停止，最新圆周率值的最后 10 位数是 7817924264。

在九年之后，日本京都大学数学家望月新一的 ABC 猜想证明正式发表在其主编的期刊《Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)》的特刊上。九年前，望月新一发表了长达五六百页的论文，宣布证明了 ABC 猜想。ABC 猜想涉及到质数、加法和乘法之间的关系，由 David Masser 和 Joseph Oesterle 在 1985 年提出，ABC 指的是如 a+b=c 的方程式，它牵涉到无平方数概念。这篇论文迟迟没有发表，而数学家花了多年时间尝试去理解。2018 年菲尔茨奖得主、波恩大学数学家 Peter Scholze 和法兰克福大学的 Jakob Stix 发表论文指出，望月新一的证明论文存在“无法修复的漏洞”。望月对批评置之不理，简单回应称这两名数学家没有理解他的论文。因为论文长达六百页，该期刊以特刊形式予以发表。

英国莱斯特大学副校长以“继续实现卓越”的名义提议裁员，同时扩大 AI 等热门领域的研究资助，有 145 人可能失去工作，其中包括所有纯数学研究员，只留三名讲师从事本科数学教育。此举引发了教职工的强烈不满，学校工会发起了对副校长的不信任投票，几乎所有人支持无人反对。大学的数学家发起了请愿，声明“数学并不是多余的”，目前已有超过 2000 人签名。

几个世纪前，著名的伊斯兰图书馆 The House of Wisdom 将阿拉伯数字带给了全世界。虽然这座古老的图书馆没有留下任何痕迹，但它掀起的数学革命彻底改变了我们的世界。The House of Wisdom 最早是作为哈里发 Harun Al-Rashid 的私人收藏而在 8 世纪后期成立的，在大约 30 年后成为了一座公共学院，将世界各地的科学家吸引到巴格达。图书馆的规模不下于今天的大英图书馆或巴黎国家图书馆，它成为了一个人文和科学研究中心。它是在 1258 年蒙古对巴格达的围攻中毁灭的，传说中丢弃到河流中的手稿将水染成了黑色。但 The House of Wisdom 发展出的阿拉伯数字最终被全世界所采用。在欧洲文艺复兴前，Leonardo da Pisa 曾是欧洲数学的代名词，他在死后被尊称为斐波那契。斐波那契于 1170 年出生于意大利比萨，在他 20 多岁时去了中东，回到意大利之后写下了《计算之数（Liber Abbaci）》，这是最早描述印度阿拉伯数字的数学作品之一。

Antoine Chambert-Loir 加入数学界历史最悠久秘密社团始于一个电话，“他们告诉我布尔巴基想要我加入，想知道我是否愿意和他们一起工作。”Chambert-Loir 接受了，在 2001 年 9 月的一周里，他朗读数学教科书，和该社团的成员一同讨论。他从未被正式要求加入。但在最后一天，他被赋予了一项长期性工作——完成该社团自 1975 年以来一直在做的一份手稿。他后来在一个会议上收到报告时发现他的名字被列为“会员（membrifié）”。这个社团被称为尼古拉·布尔巴基，或简称布尔巴基。作为一个集体的化名，这个名字来自于 19 世纪的一位法国将军，这位将军和数学毫无关系。选择这个名字可能是创建该社团的数学家在巴黎高等师范学校读本科时的恶作剧。Chambert-Loir 是该组织目前唯一公开身份的数学家，充当了它的发言人。

数学里的名词很多都是环环相扣，像套娃一样一个套另一个。以卡拉比–丘流形为例：它是第一陈类为0的紧致n维凯勒流形；而凯勒流形则是埃尔米特形式封闭的埃尔米特流形；埃尔米特流形又是特殊的黎曼流形... 如果没有几个月的死记硬背，仅仅是去跟踪一场讨论的概述都几乎是不可能的。发现者的名字对理解一个概念基本上没有任何帮助。专有名词的层层嵌套不仅让局外人甚至让从一个子域阅读另一个子域文献的数学家都困难重重。 每一个领域都有术语，如果这些术语是描述性的，那么这将很容易记住。古希腊人这方面做得很好，欧几里德的元素包含了大量的描述性术语，即使它们都是由不同的人发现的。数学家真的应该避免用彼此的名字为他们的发现命名。

数学家罗纳德·葛立恒(Ronald Graham)于 7 月 6 日去世，享年 84 岁。葛立恒曾先后担任美国数学学会（AMS）和美国数学协会(MMS)的主席，他一生与合作者发表了 350 多篇论文和图书，其中 90 多篇是与台裔妻子金芳蓉，还有 30 多篇是与著名数学家 Paul Erdős。在 Paul Erdős 去世之后，他管理着 Erdős 问题的奖金发放。他还创造了 Erdős 数。他在排程理论、拉姆齐理论、计算几何学和低差异数列均有建树。

2018 年夏天，Lisa Piccirillo 在一个低维拓扑和几何会议上听到了一个有意思的小问题，她认为可以使用在研究生时学到的技术去解决它。她不认为这是一个真正的数学问题，而是把它当作空闲时间做的家庭作业。这个问题是传奇数学家 John Horton Conway 在 50 多年前发现的，询问以他名字命名为的 Conway 扭结是否是高维扭结切片。Conway 扭结有 11 个交叉点，已经困扰了数学家数十年。Piccirillo 花了不到一周的时间得出了答案：Conway 扭结不是切片。几天后，她遇到了得州奥斯丁的数学教授 Cameron Gordon，漫不经心的谈到了她的解决方案。Gordon 大吃一惊，认为这是可以发表在数学界权威期刊《Annals of Mathematics》上的成果。Piccirillo 现在在 Brandeis 大学做博后，因为这个证明而从 MIT 得到了教职。她的证明（预印本）发表在二月份的《Annals of Mathematics》上。